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真理在0与1之间:连续统、非全与剩余

「s8-12-0023」译文

更准确地说:

  • 自然数 {1, 2, 3, ...} 的数量叫 可数无限,记作 ℵ₀
  • 区间 (0,1) 里的所有实数的数量叫 不可数无限,也叫连续统基数,记作 𝔠
  • 结论是:

\[ \lvert(0,1)\rvert = \mathfrak{c} > \aleph_0 = \lvert\mathbb{N}\rvert \]

也就是说,虽然 (0,1) 看起来只是很小一段,但里面的实数数量比所有自然数还要多。

关键点是:

  • (0,1) 里的有理数和自然数一样多,是可数的。
  • 但 (0,1) 里的实数包含所有无理数,所以不可数。

康托尔的对角线证明说明:
你不可能把 (0,1) 里的所有实数排成一个自然数列表。无论你怎么列,总能构造出一个不在列表里的新实数。

真理只能在大于0到小于1之间。

数学上这并不意味着“真理很少”。恰恰相反,0 和 1 之间已经有一个比自然数更大的无限。

与“真理不整体呈现”的对应

这个用 01 之间的实数来指代 拉康这里提到的“真理不会把自身整体呈现出来”还挺贴切的。 它把不可数性非全性以及一种无法被穷尽的剩余放在同一个数学图像里。

(0,1) 本身不包含任何自然数或整数,却已经与整个实数连续统同势。也就是说,它完全被自然数集合、整数集合排除在外,同时又不是实数集合中一个边缘的、可有可无的部分;相反,它直接显出实数连续统的结构。

即使先把 (0,1) 其中可数的有理数全部拿掉,剩下的仍然是不可数的。这个剩余无法被自然数列表穷尽,也无法作为一个“整体”一次性呈现出来。

这个集合完全被“自然数集合”,“整数”排除在外,与此同时同时又是构成“实数集合”重要的一部分

对应译文段落